Problemas de repaso para evaluar ultima unidad

18.1 Un tanque de 20 L contiene 0.225 Kg de helio a 18 ªC. La masa molar del helio es de 4 g/mol.

A) ¿Cuántos moles de helio hay en el tanque?

n=m/M=0.225Kg/0.004Kg/mol=56.25 mol

B) Calcule la presión en el tanque en Pa y atm.

p=nRT/V

P=(56.25 mol)(0.08206 L*atm/mol*K)(291.15K)/20.0L1 atm=101300N/M2

por lo tantoP=6807360 Pa

18.3 Un tanque cilíndrico tiene un pistón ajustado que permite cambiar el volumen del tanque. El tanque contiene originalmente 0.110 m3 de aire a 3.40 atm de presión. Se tira lentamente del pistón hasta aumentar el volumen del aire a 0.390 m3. Si la temperatura no cambia, ¿qué valor final tiene la presión?

P2=P1(V1/V2)

P2=3.40atm(0.110M3/0.390m3)=0.958atm

aproximadamente 0.96atm

18.23 ¿Qué volumen tienen 3 moles de cobre?

V=m/p

m=NMm=3 mol(0.06354Kg/mol)=0.1906 KV=0.1906 Kg/8900Kg/M3=0.0000214 m3=21.4cm3


18.33 Tenemos dos cajas del mismo tamaño, A y B. Cada caja contiene un gas que se comporta como gas ideal. Insertamos un termómetro en cada caja y vemos que el gas de la caja A está a 50ªC, mientras que el de la caja B está a 10ªC. Esto es todo lo que sabemos acerca del gas contenido en las cajas. ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes deben ser verdad? ¿Cuáles podrían ser verdad?


A) La presión en A es mayor que en B.como no se conoce la n para cada caja la presion podria ser mayor

Como no se conoce la n para cada caja la presión podría ser mayor

b) Hay más moléculas en A que en B.

Como no sabemos cómo se comparan las presiones su número de moles podría ser más grande.

c) A y B no pueden contener el mismo tipo de gas.

No se conocen las masas de los gases por lo tanto podrían contener un mismo gas o diferente.

d) Las moléculas en A tiene en promedio más energía cinética por molécula que las de B.

Como la temperatura de la caja A es mayor que la de la caja B y la energía cinética media por molécula depende de T, la declaración es cierta.

e) Las moléculas en A se mueven con mayor rapidez que las de B.

No conocemos nada acerca de las masas de los atomos del gas en cada caja, así que las moléculas podrían tener una mayor velocidad media cuadrática



18.41 a) Calcule la capacidad calorífica específica a volumen constante del vapor de agua (M=18 g/mol), suponiendo que la molécula triatómica no lineal tiene tres grados de libertad traslacionales y dos grados rotacionales y que el movimiento vibracional no contribuye.


b) La capacidad calorífica real del vapor de agua a baja presión es de cerca de 2000 J/Kg ªK. Compare esto con su cálculo y comente el papel real del movimiento vibracional.

Como posee 6 grados de libertad la capacidad de calor a volumen constante seria:

3R=24.9J/mol*KCV=3R/M=(24.9J/mol*K)/0.018Kg/mol=1383.33j*Kg*K

Las vibraciones contribuyen a que haya una mayor capacidad calorífica

18.45 Para nitrógeno gaseoso (M=28 g/mol), ¿Cuál deberá ser la temperatura si la rapidez del 94.7% de las moléculas es menor:

a) 1500 m/s;

T= 986 K

b) 1000 m/s;

T= 438K

c) 500 m/s?

T= 109.5K

cuestionario equipo 4 : Fuerza magnetica en una particula.

Pregunta 1: positiva o negativa
¿Está la partícula (en la simulación) cargada positiva o negativamente ?


Para determinar la dirección de la fuerza magnética sobre una partícula cargada en movimiento, hay que imaginar que apuntan los dedos de su mano derecha en la dirección de la velocidad de la partícula. Con los dedos hasta el punto en la dirección del campo magnético. Su pulgar apunta en la dirección de la fuerza magnética sobre la partícula, suponiendo que tiene una carga eléctrica positiva. Si la carga es negativa, la fuerza apunta en la otra dirección.

Pregunta 2: Aumentar el campo magnético: Efecto sobre el radio
¿Qué va a pasar con el radio del electrón de la ruta de acceso si el campo magnético es mayor en magnitud?

Como el campo magnético se incrementa, la fuerza magnética sobre una partícula cargada en movimiento se incrementa proporcionalmente. A mayor fuerza causa una mayor aceleración, que, por una partícula en movimiento en un círculo, debe ser igual v2 / r. Por lo tanto, como la aceleración aumenta, el radio de la ruta circular debe disminuir.

Pregunta 3: El aumento del campo magnético: Efecto sobre el tiempo
¿Qué va a pasar con el tiempo que tarda el electrón para completar una órbita si el campo magnético es mayor en magnitud?

Dado que el radio disminuye al aumentar la materia, las partículas, que viajan a la misma velocidad, debe atravesar la órbita más pequeña en menos tiempo.


Pregunta 4: Aumento de la Velocidad: Efecto sobre el radio
¿Qué va a pasar en el radio del electrón del camino si la primera X-velocidad de la partícula aumenta en magnitud?

Como el x-es el aumento de la velocidad, la fuerza magnética sobre una partícula cargada se incrementa proporcionalmente, porque a mayor fuerza causa una mayor aceleración, que, por una partícula en movimiento en un círculo, debe ser igual v2 / r. Por lo tanto, para la aceleración, v2 / r, para aumentar proporcionalmente con v, r también debe aumentar proporcionalmente con la c.

Pregunta 5: Aumento de la Velocidad: Efectos sobre el tiempo ¿Qué va a pasar con el tiempo que tarda el electrón para completar una órbita si el x-velocidad de la partícula aumenta en magnitud?

Dado que el radio aumenta proporcionalmente con la v, la distancia de las partículas deben viajar para completar una órbita también aumenta proporcionalmente con la V. Así pues, si la distancia que viajó la velocidad y aumenta proporcionalmente tanto que el tiempo para completar la órbita no cambia. La frecuencia de la órbita de la partícula es independiente de la velocidad. Esta órbita frecuencia se refiere a la frecuencia ciclotrón.

Cuestionario de fisica 24 nov 2008

1. ¿Que propiedades de la materia dependen de la temperatura?, mencionar 3

Punto de fusión, ebullición y densidad

2. ¿A que se le llama equilibrio térmico?

Se dice que los cuerpos en contacto térmico se encuentran en equilibrio térmico cuando no existe flujo de calor de uno hacia el otro. Esta definición requiere además que las propiedades físicas del sistema, que varían con la temperatura, cambien con el tiempo.

Todos los cuerpos tienen una energía llamada energía interna. La cantidad de energía interna de un cuerpo es muy difícil de establecer ya que las partículas que forman un cuerpo tienen energías muy variadas.

Tienen energías de tipo eléctrico, de rotación, de traslación y vibración debido a los movimientos que poseen, energías de enlace (que pueden dar posibles reacciones químicas).

Lo más fácil de medir es la variación de energía en un proceso de transformación concreto y si el proceso es sólo físico mucho mejor.

Al poner en contacto dos cuerpos a distinta temperatura, el de mayor temperatura cede parte de su energía al de menos temperatura hasta que sus temperaturas se igualan. Se alcanza así lo que llamamos "equilibrio térmico".

3. ¿Que es un aislante ideal?

Son elementos que prácticamente no conducen la corriente eléctrica. El aislante ideal no existe.

El aislante hace referencia a cualquier material que impide la trasmisión de la energía en cualquiera de sus formas: con esta impide que la energía traspase:

• Aislante acústico.

• Aislante eléctrico.

• Aislador de microondas.

• Aislante térmico.

• Aislador de barrera.

4. Dibujar un sistema que represente la ley Cero de la Termodinámica, indicando el equilibrio térmico



Esta ley proposición fue enunciada por R. H. Fowler en 1931. La ley cero de la termodinámica se enuncia diciendo:

La experiencia indica que si dos sistemas A y B se encuentran, cada uno por separado, en equilibrio térmico con un tercer sistema, que llamaremos C, entonces A y B se encuentran en equilibrio térmico entre sí.


5. ¿Cuando se dice que dos sistemas están en equilibrio térmico?

Se dice que los cuerpos en contacto térmico se encuentran en equilibrio térmico cuando no existe flujo de calor de uno hacia el otro.
Entonces se puede definir la temperatura como una propiedad que permite determinar si un sistema se encuentra o no en equilibrio térmico con otro sistema.
Si dos sistemas se encuentran en equilibrio térmico se dice que tienen la misma temperatura.

6. ¿Porque cuando una enfermera toma la temperatura de un paciente espera que la lectura del termómetro deje de cambiar?

La temperatura del cuerpo varía según el medio.
La temperatura interna o central del cuerpo es regulada de forma precisa y se conserva dentro de límites muy estrechos.
Por lo tanto al tomar la temperatura una enfermera espera que la lectura del termómetro deje de cambiar para lograr un equilibrio térmico entre el calor del cuerpo y el ambiente.



7. Mencionar tres tipos de dispositivos que miden la temperatura

Un pirómetro, también llamado pirómetro óptico, es un dispositivo capaz de medir la temperatura de una sustancia sin necesidad de estar en contacto con ella.

Un termopar es un dispositivo formado por la unión de dos metales distintos que produce un voltaje (efecto Seebeck),que es función de la diferencia de temperatura entre uno de los extremos denominado "punto caliente" o unión caliente o de medida y el otro denominado "punto frío" o unión fría o de referencia.

Un termómetro de mercurio es un tipo de termómetro que generalmente se utiliza para tomar las temperaturas del ambiente o entorno exterior. El mercurio de este tipo de termómetro se encuentra en un bulbo reflejante y generalmente de un color blanco brillante, con lo que se evita la absorción de la radiación del ambiente

8. Cual es la temperatura de congelación del agua en ºF?

El punto de fusión y de congelación es el mismo: 0 °C (32 °F).

9. Calcular la temperatura ºF del planeta Venus si en grados º C corresponde a 460 ºC.

ºF= (1.8)460+32
ºF=860


10. Encontrar la temperatura en la que coinciden las escalas ºF y ºC.
40ºC y 40 ºF




11. La temperatura de la corona solar es de 2 X 10 exp. 7 ºC, y la temperatura a la que el Helio se licua a presión estándar es de 268.93 ºC.
a) expresar estas temperaturas en kelvin

K = C +273 K = 268.93+273

K = 2 X 10 +273 = 20000273 K = 541.93

b) explicar porque suele usarse la escala kelvin
La escala kelvin se usa principalmente solo para experimentos de uso científico.

El kelvin es la unidad de temperatura de la escala creada por William Thompson en el año 1848, sobre la base de ºC, establecido el punto cero en el cero absoluto ( -273,15ºC) y conservado la misma dimensión. William Thompson, quien mas tarde seria Lord Kelvin, a sus 24 años introdujo la escala de temperatura termodinámica, y la unidad fue nombrada en su honor.


12. Dos vasos de agua A, B están inicialmente a la misma temperatura. La temperatura del agua del vaso se aumenta 10 ºF y la del vaso B 10ºK,¿ cual vaso está ahora a mayor temperatura?

ºC= ºF-32/1.8
ºC = 10ºF -32/1.8
ºC = -12.2210 ºC

ºC = k -273
ºC = ºK -273 = 263 ºC

El vaso A sigue estando a mayor temperatura que el vaso B

Problemas Unidad: Campos magneticos

En el ecuador, cerca de la superficie de la Tierra el campo magnético es aproximadamente de 50.0 µT con dirección norte y el campo electico es cercano a 100 N/C hacia abajo en clima favorable. Encuentre las fuerzas gravitacional eléctrica y magnética sobre un electrón que se mueven a una velocidad instantánea de 6.00 x 106 m/s en dirección este en dicho ambiente.

Fuerza gravitacional:
Fg = mg = (9.11 x 10-31 kg) (9.80 m/s2) = 8.93 x 10-30 N (abajo)
Fuerza eléctrica:
Fe = qE = (-1.60 x 10-19 C) (100 N/C) abajo = 1.60 x 10-17 N arriba
Fuerza magnética:
FB = qv x B = (-1.60 x 10-19 C) (6.00 x 106 m/s (E)) x (50.0 x 10-6 (N·s/C·m)(N))
FB = -4.80 x 10-7 N arriba = 4.80 x 10-17 N abajo


Un alambre conduce una corriente estable de 2.40 A. Una sección recta del alambre mide 0.750 m de largo y se encuentra a lo largo del eje x dentro de un campo magnético uniforme de magnitud B= 1.60 T en la dirección z positiva. Si la corriente esta en la dirección +x, ¿Cuál es la fuerza magnética sobre la sección de alambre?

FB = IL x B = (2.40 A) (0.750 m)i x (1.60 T)k = (-2.88 j)N


Una corriente de 17.0 mA se mantiene en una espira de circuito individual de 2.00 m de circunferencia. Un campo magnético de 0.800 T se dirige paralelo al plano de la espira.

a) Calcule el momento magnético de la espira.
2pr = 2.00 m
r = 0.318 m
µ = IA = (17.0 x 10-3 A) [p(0.318)2 m2] = 5.41 mA·m2
b) ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por el campo magnético?
τ = µ x B
τ = (5.41 x 10-3 A·m2) (0.800 T) = 4.33 mN·m

Un pequeño imán de barra esta suspendido en un campo magnético uniforme de 0.250 T. El momento de torsión máximo experimentado por el imán de barra es de 4.60 x 10-3 N.m. Calcule el momento magnético del imán de barra.
Una espira rectangular consta de N = 100 vueltas enrolladas muy próximas entre si tiene dimensiones a = 0.400 m y b= 0.300 m. La espira se articula a lo largo del eje y, y su plano forma un ángulo Ѳ = 30.0° con el eje x. ¿Cuál es la magnitud del momento de torsión ejercido sobre la espira por un campo magnetico uniforme B = 0.800 T dirigido a lo largo del eje x cuando la corriente es I = 1.20 A en la dirección indicada? ¿Cuál es la dirección esperada de rotación de la espira?.



Un alambre de 40.0 cm de largo conduce una corriente de 20.0 A. Se dobla en una espira y se coloca con su normal perpendicular a un campo magnético con una intensidad de 0.520 T. ¿Cuál es el momento de torsión sobre la espira si se dobla en la forma de:
Para τ = µ x B = IA x B, la magnitud del torque es IAB sen 90°.

a) Un triangulo equilátero?
La altitud es √(13.32 – 6.672) cm = 11.5 cm
A = ½ (11.5 cm) (13.3 cm) = 7.70 x 10-3 m2
τ = (20.0 A) (7.70 x 10-3 m2) (0.520 N·s/C·m) = 80.1 mN·m
b) Un cuadrado?
τ = (20.0 A) (10-2 m2) (0.520 T) = 0.104 N·m
c) Un circulo?
r = 0.400 m/ 2p = 0.0637 m
A = pr2 = 1.27 x 10-2 m2
τ = (20.0 A) (1.27 x 10-2 m2) (0.520) = 0.132 N·m
d) ¿Cuál momento de torsión es más grande?
El circular.

Un ion positivo con una sola carga tiene una masa de 3.20 x 10-26 kg. Después de que es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 833 V, el ion entra a un campo magnético de 0.920 T a lo largo de una dirección perpendicular a la dirección del campo. Calcule el radio de la trayectoria del ion en el campo.

½ mv2 = q(Δv)
½ (3.20 x 10-26 kg)v2 = (1.60 x 10-19 C) (833 V)
V = 91.3 km/s
qVB sen Ѳ = mv2/r
r = mv/qB sen 90° = ((3.20 x 10-26 kg) (9.13 x 104 m/s))/((1.60 x 10-19 C) (0.920 N·s/C·m)) = 1.98 cm


Una bobina rectangular de 50 vueltas y dimensiones de 5.00 cm x 10.0 cm se deja caer desde una posición donde B = 0 hasta una nueva posición donde B = 0.500 T y se dirige perpendicularmente al plano de la bobina. Calcule la magnitud de la fem promedio inducida en la bobina se el desplazamiento ocurre en 0.250 s.

Є = ΔΦB/Δt = Δ(NBA)/Δt = 500 mV


Una bobina circular de alambre de 25 vueltas tiene un diámetro de 1.00 m. La bobina se coloca con su eje a lo largo de la dirección del campo magnético de la Tierra de 50.0 µT, y luego, en 0.200 s, se gira 180°. ¿Cuál es la fem promedio generada en la bobina?

Є = - N(ΔBA Cos Ѳ/Δt) = - NBpr2 ((Cos Ѳf – Cos Ѳi)/(Δt))
= -25.0 (50.0 x 10-6 T) p (0.500 m)2 ((Cos 180° - Cos 0)/(.200 s))
Є = + 9.82 mV


Un anillo de aluminio con un radio de 5.00 cm y una resistencia de 3.00 x 10-4 Ω se coloca sobre la parte superior de un largo solenoide con núcleo de aire, 1000 vueltas por metro y un radio de 3.00 cm. Suponga que la componente axial del campo producido por el solenoide sobre el área del extremo del solenoide es la mitad de intensa que en el centro del solenoide. Suponga que el solenoide produce un campo despreciable afuera de su área de sección transversal.

Є = (d(BA))/dt = 0.500 µ0nA (dI/dt) = 0.480 x 10-3 V
a) Si la corriente en el solenoide esta aumentando a razón de 270 A/s, ¿Cuál es la corriente inducida en el anillo?
Ianillo = Є/R = 4.80 x 10-4/3.00 x 10-4 = 1.60 A
b) En el centro del anillo, ¿Cuál es el campo magnético producido por la corriente inducida en el anillo?
Banillo = µ0I/2ranillo = 20.1 µT
c) ¿Cuál es la dirección de este campo?
Los puntos del campo están hacia abajo y están aumentado cuando Banillo es hacia arriba.


Encuentre la corriente que atraviesa la sección PQ la cual tiene una longitud a = 65.0 cm. El circuito se localiza en un campo magnético cuya magnitud varia con el tiempo de acuerdo con la expresión B = (1.00 x 10-3 T/s)t. Suponga que la resistencia por longitud del alambre es 0.100 Ω/m.

Para un viaje a la izquierda alrededor del lazo izquierdo con B = At.
d/dt (At(2a2) Cos 0) – I1(5R) – IPQR = 0
y para el lazo derecho
d/dt (Ata2) + IPQR – I2 (3R) = 0
donde IPQ = I1 – I2 es la corriente ascendente QP.
Asi que: 2Aa2 – 5R (IPQ + I2) – IPQR = 0
Y Aa2 + IPQR = I2 (3R)
2Aa2 – 6RIPQ – [(5/3)(Aa2 + IPQR)] = 0
IPQ = Aa2/23R hacia arriba y entonces:
R = (0.100 Ω/m)(0.650 m) = 0.0650 Ω
IPQ = [(1.00 x 10-3 T/s)(0.50 m)2]/[23(0.0650 Ω)] = 283 µA hacia arriba.



Una bobina que se enrolla con 50 vueltas de alambre en la forma de un cuadrado se coloca en un campo magnético de modo que la normal al plano de la bobina forme un ángulo de 30° con la dirección del campo. Cuando el campo magnético se incrementa uniformemente de 200µT a 600µT en 0.400 s, una fem de 80.0 mV de magnitud se induce en la bobina. ¿Cuál es la longitud total de alambre?

Є = d/dt(NB12Cos Ѳ) = ((N12ΔB Cos Ѳ)/(Δt))
1 = √(ЄΔt/NΔBCosѲ) = √(((80.00 x 10-3 V)(0.400 s))/((50)(600 x 10-6 T – 200 x 10-6 T)(Cos 30°))) = 1.36 m
Longitude = 41N = 4(1.36 m)(50) = 275 m



Una bobina circular que encierra un área de 100 cm2 esta integrada por 200 vueltas de alambre de cobre. Al principio, un campo magnético uniforme de 1.10 T apunta perpendicularmente hacia arriba a través del plano de la bobina. La dirección del campo se invierte después. Durante el tiempo que el campo esta cambiando su dirección, ¿Cuánta carga fluye a través de la bobina si R = 5.00 Ω?

Є = - (N)(dΦB/dt)
Idt = - (N/R)(dΦB)
Q = - (N/R)(ΔΦB) = - (N/R)A(Bf – Bi)
Q = - (200/5.00 Ω)(100 x 10-4)(-1.10 – 1.10)T = 0.880 C.


Una bobina rectangular con resistencia R tiene N vueltas, cada una de longitud ℓ y ancho ω. La bobina se mueve dentro de un campo magnético uniforme B a velocidad v. ¿Cuál es la magnitud y dirección de la fuerza resultante sobre la bobina:

a) Cuando esta entra al campo magnético
La fuerza en el lado de la bobina que incorpora el campo (que consiste en los alambre de N) es:
F = N(ILB) = N(IwB)
El fem inducido en la bobina es:
Є = N(dΦB/dt) = N(d(Bwv)/dt) = NBwv
Entonces la corriente esta I = (Є/R) = (NBwv/R) a la izquierda.
La fuerza en el lado izquierdo principal de la bobina es entonces:
F = N(NBwv/R)wB = (N2B2w2v/R) a la izquierda.
b) Cuando se mueve dentro del campo
La bobina esta una vez enteramente dentro del campo ΦB = NBA = constante, entonces Є = 0, I = 0 y F = 0.
c) Cuando sale del campo?
Mientras que la bobina comienza a salir del campo, el flujo disminuye a Bwv, así que la magnitud de la corriente es igual que en la parte (a), pero ahora los flujos de la corriente a la derecha. Así, la fuerza ejercida en el lado que se arrastra de la bobina es:
F = (N2B2w2v/R) a la izquierda.


Dos rieles paralelos que tienen resistencia despreciable están separados 10.0 cm y se conectan por medio de un resistor de 5.00 Ω. El circuito consiste también dos barras metálicas con resistencias de 10.0 Ω y 15.0 Ω que se deslizan a lo largo de los rieles. Las barras se alejan del resistor con rapidez constante de 4.00 m/s y 2.00 m/s, respectivamente. Se aplica un campo magnético uniforme, de 0.010 0 T de magnitud, perpendicular al plano de los rieles. Determine la corriente en el resistor de 5.00 Ω.

Lazo izquierdo: + Bdv2 – I2R2 = 0
Lazo derecho: + Bdv3 – I3R3+ I1R1 =
En la ensambladura: I2 = I1 + I3
Entonces, Bdv2 – I1R2 – I3R2 – I1R1 = 0
I3 = (Bdv3/R3) + (I1R1/R3)
Por lo tanto Bdv2 – I1(R1 + R2) – (Bdv3R2/R3) – (I1R1R2/R3) = 0
I1 = Bd[(v2R3 – v3R2)/(R1R2 + R1R3 + R2R3)] hacia arriba
I1 = (0.0100 T)(0.100 m) [{(4.00 m/s)(15.0 Ω) – (2.00 m/s)(10.0 Ω)}/{(5.00 Ω)(10.0 Ω) + (5.00 Ω)(15.0 Ω) + (10.0 Ω)(15.0 Ω)}] = 145 µA hacia arriba.


Una bobina de 0.100 m2 de área esta girando a 60.0 rev/s con el eje de rotación perpendicular a un campo magnético de 0.200 T.

a) Si hay 1000 vueltas en la bobina, ¿Cuál es el máximo voltaje inducido en el?
Єmax = NABw = (1000)(0.100)(0.200)(120p) = 754 kV.
b) Cuando el máximo voltaje inducido ocurre, ¿Cuál es la orientación de la bobina respecto del campo magnético?
Є(t) = - NBAw · Senwt = - NBA Sen Ѳ
Є es máximo cuando Sen Ѳ = 1, Ѳ = +- (p/2)
El plano de la bobina es tan paralelo a B.


Un largo solenoide, cuyo eje coincide con el eje x, consta de 200 vueltas por metro de alambre que conduce una corriente estable de 15.0 A. Se forma una bobina enrollando 30 vueltas de alambre delgado alrededor de un armazón circular que tiene un radio de 8.00 cm. La bobina se pone dentro del solenoide y se monta sobre un eje que esta a un diámetro de la bobina se hace girar con una rapidez angular de 4.00p rad/s. (El plano de la bobina esta en el plano yz en t = 0.) Determine la fem desarrollada en la bobina como función del tiempo.

B = µ0nI = (4p x 10-7 T · m/A)(200 m-1)(15.0 A) = .77 x 10-3 T
Para la pequeña bobina ΦB = NB · A = NBA Cos wt = NB(pr2) Cos wt
Así, Є = - (dΦB/dt) = NBpr2w Sen wt
Є = (30.0)(3.7 x 10-3 T)p(0.0800 m)2(4.00ps-1) Sen (4.00 pt) = (28.6 mV) Sen (4.00pt)

Fuerza debida a los campos magneticos

-- Fuerza magnetica que actua sobre un conductor que transporta corriente
--Fuerza magnetica que se ejerce sobre una carga q en movimiento, con una velocidad de arrastre Vd igual a qVd X B

Fuerza magnetica total sobre un alambre de longitud L:

FB = (qVd X B)n AL

Potenciales magneticos escalares y vectoriales

Fuerza magnetica


F= qv X B

Expresion vectorial de la fuerza magnetica que se ejerce sobre una particula cargada en movimiento, en un campo magnetico.

El campo magnetico esta definido en funcion de la fuerza que actua cobre una prticula cargada en movimiento.

FB = l q l vBsen Ө

Densidad de flujo magnetico : ECUACIONES MAXWELL

Representa las leyes de la electricidad y el magnetismo, predicen la existencia de ondas electromagneticas, estados en movimiento de campo electrico y que viajan con velocidad.

C= 1 / √ μ0 E0 = 3 X 10 exp 8 m/s

Dichas cargas son radiadas por cargas en aceleracion.

Ecuaciones de Maxwell aplicadas al espacio libre en ausencia de cualquier material dielectrico o magnetico.

∫ E dA = q / E0 ............. Ley de Gauss ( Flujo electrico total)
∫ B dA = 0 ........................Ley de Gauss en el magnetismo
∫ E dS = - dIB / dt .........Ley de Faraday
∫ B dS = μ0 I + Eo μ0 dIE / dt .........Ley de Ampere

Para calcular la fuerza que actua sobre una particula con carga q partiendo d ela expresion:

F = qE + qv XB........... Ley de la fuerza de Lorentz

Campo en el interior de un conductor cilindrico largo

Un conductor cilindrico de radio R transporta una corriente I. La corriente se distribuye uniformemente en toda el area de seccion transversal del conductor.

Hallar el campo magnetico en funcion de la distancia y el eje del conductor, de los puntos situados tanto adentro (r > R) del conductor.

B apunta en la direccion de la trayectoria de integracion.

J= I /πR2 (densidad de corriente)

I encerrada= Jπr2 = Ir2 / R2

B (2πr) = μ Ir2 / R2

B = μ Ir / 2πR2 ( Adentro del conductor rB = μ I / 2πr ( afuera del conductor r > R)


Ley de Bio Zabar Ampere

J= IR2 / R2 = J = I

I encerrada= μ I / 2πr

Ley de Ampere

B= μ I encerrada

-- La ley de Ampere es valida con respecto a conductores de cualquier forma

-- Valida solo si las corrientes son estables y no estan presentes ni materiales magneticos ni campos electricos que varien con el tiempo.

Campo magnetico de una espira circular de corriente

Magnitud dB del campo debido al elemento dl.

dB= (μ0 I / 4π)(dl / (x2 + a2))

1) Bx = μ0Ia2 / 2(x2 + a2)3/2 ..........Campo magnetico sobre el eje de una espira circular

2) Bx = μ0NIa2 / 2(x2 + a2)3/2 .....Campo magnetico sobre el eje de N espiras circulares (bobina)

Bx = μ0NI / 2a.............................Campo magnetico en el centro de N espiras circulares

3) Bx = μ0 μ/ 2π(x2 + a2)3/2 ......... Campo magnetico sobre el eje de cualquier numero de espiras circulares

μ0 = 1 X 10-7 Tm/A
μ = momento dipolar magnetico = NIπa2

Area = πa2

-----Nota: las ecuaciones 1,2,3 son validas solo sobre el eje de una espira o bobina, no aplicarlas para otro punto.

Ejercicio

Una bobina compuesta de 100 espiras. de 0.6 mts de radio conduce una corriente de SA.

a) Encontrar el campo magnetico en un punto a lo largo del eje de la esfera a 0.8 mts del centro.
b) A lo largo del eje, ¿a que distancia del centro es la magnitud del campo 1/8 de la que existe en el centro?

Bx = μ0NIa2 / 2(x2 + a2)3/2
Bx = (4π X 10 -7 Tm/A) (100)(5)(o.6)2 / 2(0.8 2 + 0.6 2) 3/2
Bx = 1.13 X 10 -4

Campo magnetico de un conductor recto que transporta corriente

B = μ I / 2πX

Un conductor largo y recto transporta una corriente de 1 A. ¿ A que distancia de eje del conductor es la magnitud del campo magnetico generado por la corriente igual a la del campo magnetico terrestre?

I= 1 A
B= 0.5 X 10 -4 T

X= μ I / 2πB
X = (10 X 10 -7 Tm/A)(1 A)/ 2π (0.5 X 10 -4 T)

Campo magnetico de un segmento de corriente

Un ampere produce una corriente constante de 125 A. a un tanque. Encontrar el campo magnetico generado por un segmento de 1 cm. de este alambre en un punto situado a 1.2 mts.

a) Sie l punto es directamente hacia afuera a un costando del segmento P1.

Bp1 = (10 X10-7 Tm/A) ( 125 A)(1X10-2 m)(sen 90)/ (1.2m)2
Bp1 = 8.7 X10-8 T

b) El punto P2, sobre una linea a 30º del segmento

Bp2 = (10 X10-7 Tm/A) ( 125 A)(1X10-2 m)(sen 30)/ (1.2m)2
Bp1 = 4.3 X10-8 T

UNIDAD 3 : Campos magneticos

LEY DE BIOT. SAVART

Da el valor del campo magnetico en algun punto del espacio en funcion de la corriente que esta produciendo dicho campo.

-- El vector dB esperpendicular tanto a ds (apunta en direccion de la corriente) como el vector unitario V dirigido ds hacia P.

--La magnitud de dB es inversamente proporcional a V2 siendo r la distancia de dS a P.
--La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la magnitud de dS del elemento de longitud dS.
--La magnitud de dB es `proporcional a SenӨ, donde Ө es el angulo entre los vectores dS y r.

dB = (μ / 4π) (IdsXr/r2)

μ = permeabilidad dek espacio libre = 4π X10 -7 Tm/A (momento dipolar)

T= Tescas
m= metros
A= Ampere
B= campo magnetico
ds= superficie del conductor

Problema 1:

Si un rayo puede llevar una corriente de 1X10 4 amperes por un corto periodo de tiempo ¿Cual es el campo magnetico resultante a 100 mts de el? Suponer que el rayo se extiende a gran distancia tanto hacia arriba como hacia abajo.

Cuestionaria equipo 4: Campo electrico: Carga Puntual

1. Se coloca un protón en un campo eléctrico uniforme y luego se libera. Después se coloca un electrón en el mismo punto y se libera.

• Experimentan estas dos partículas la misma fuerza?

Si, ya que el campo al que estan sometidas es el mismo para ambos casos y por lo tanto estan sometidas a la misma fuerza de este.

• Y la misma aceleración?

No, ya que sus masas son diferentes y por lo tanto, aplicando la Segunda ley de Newton (F=mg), la aceleracion dependede la masa y no solo de la fuerza que se le aplique al proton y al electron respectivamente.

• Se desplazan en la misma dirección al ser liberadas?

No, ya que en caso de que el campo sea generado por una particula negativa, el proton al liberarse se alejará de esta particula (repulsion) y el electron en cambio se verá atraido por esta particula (atraccion); si el campo es generado por una particula positiva las fuerzas serian viceversa.

2.- Los campos eléctricos suficientemente intensos pueden provocar que los átomos se ionicen positivamente, esto es, que pierdan uno ó más electrones.

• Explicar como ocurre esto.

Los campos electricos generan niveles de energia , al absorber la energia un electron se excita y pasa a un mayor nivel de energia, si el campo electrico produce "demasiada energia" , esta será suficiente para que el electron no solo pase a otro nivel de energia sino que tenderá a "saltar" del atomo para formar un enlace con otro atomo,(tanta energia le servirá de "propulsor") a esto se le llama ionizacion.

• Qué es lo que determina la intensidad que el campo debe tener para que esto ocurra?

El nivel de energia del electron de valencia( el que ocupa el ultimo lugar dentro de un atomo) en el que se encuentra este, ya que este nivel determinará que tan "dispuesto" esté el electron para saltar del atomo o qué tanta intensidad requiere el electron para lograr la ionizacion.

3.- Cierta partícula tiene una carga – 3 nC.

• a) Hallar la magnitud y dirección del campo eléctrico debido a esta partícula en un punto situado 0.25 m directamente arriba de ella,
  

q = - 3 nC = - 3 x10^{-9 C}
r = 0.25 mts
k = 9x10⁹ N. m²/C²

E = k q = ( 9x10⁹ N. m²/C²) ( - 3 x10^{-9 C)} = - 432 N/C

....... R² ............... ( 0.25 m)²

^{La direccion del campo electrico es hacia adentro ya que se trata de una carga negatica.}

• b) A que distancia de esta partícula tiene su campo eléctrico una magnitud de 12 N/C?.

E = 12 N/C

r = √ kq /E = √( 9x10⁹ N. m²/C²) ( - 3 x10^{-9 C) / 12 N/C = 1.5 mts}

4.- Un electrón inicialmente en reposo se deja libre en un campo eléctrico uniforme. El electrón se acelera verticalmente hacia arribar recorriendo 4.5 m en los primeros 3 us después de ser liberado.

• a) Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico?,

E = k q = ( 9x10⁹ N. m²/C²) ( 1.602 x 10^{-19 C)} = 7.12 x 10^-11 N/C

.........R² .......................( 4.5 m)²

La direccion del campo es hacia dentro ya que se trata de una craga negativa.

• b) Se justifica no tener en cuenta los efectos de la gravedad?, justificar la respuesta cuantitativamente.

Aplicando la Segunda Ley de Newton: F=mg...

F= mg= (9.1X10-31kg)(9.8 m/s2)= 8.918X10-30 kgm/s2

E=F/q = 8.918X10-30 kgm/s2 /1.602X10-19 C = 5.54 X10-11 N/C

Si tomamos en cuenta los efectos de la gravedad, el campo electrico ejercido en el electron esmenor que elde la prueba hecha.

Ley de Coulomb

Mediante una balanza de torsión, Coulomb encontró que la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

El valor de la constante de proporcionalidad depende de las unidades en las que se exprese F, q, q’ y r. En el Sistema Internacional de Unidades de Medida vale 9·10^-9 Nm²/C².

La ley de Coulomb nos describe la interacción entre dos cargas eléctricas del mismo o de distinto signo. La fuerza que ejerce la carga Q sobre otra carga q situada a una distancia r es.

La fuerza F es repulsiva si las cargas son del mismo signo y es atractiva si las cargas son de signo contrario.

Fuente:http://web.educastur.princast.es/proyectos

Concepto de campo eléctrico

Un campo eléctrico es un campo de fuerza creado por la atracción y repulsión de cargas eléctricas (la causa del flujo eléctrico) y se mide en Voltios por metro (V/m). El flujo decrece con la distancia a la fuente que provoca el campo.

Los campos eléctricos estáticos (también conocidos como campos electrostáticos) son campos eléctricos que no varían con el tiempo (frecuencia de 0 Hz). Los campos eléctricos estáticos se generan por cargas eléctricas fijas en el espacio, y son distintos de los campos que cambian con el tiempo, como los campos electromagnéticos generados por electrodomésticos, que utilizan corriente alterna (AC) o por teléfonos móviles, etc.

En las siguientes imágenes vemos las líneas de campo en el campo creado por una carga positiva, por una negativa y por dos cargas del mismo valor y distinto signo:

carga positiva

carga negativa

.

Dos cargas del mismo valor y distinto signo

Fuente: GreenFacts

Divergencia y rotacional de un campo vectorial

Interpretación física:

Si F denota el campo de velocidad de un fluido,entonces divF en un punto P mide la tendencia de ese fluido a alejarse de P (divF> 0) y acumularse en torno de P (divF < divf =" v.F" style="" lang="EN-GB"> e^2x i + (3x²yz)j + (2y²z + x)k

divF (x,y,z) = v. F (x,y,z)
= d/dx e^2x + d/dy (3x²yz) + d/dz (2y²z + x)
= 2e^2x + 3x²z + 2y²

rot= vXF =

l i j k l

l d/dx d/dy d/dz l

l e^2x 3x²yz 2y²z + xl

= i (4yz - 3x² y) - j(1) + k (6xyz)

Derivada direccional (Gradiente)

Para indicar una dirección se utiliza el concepto de vector unitario que forma un ángulo de medida Ө radianes con la parte positiva del eje x.

μ = cos Ө i + sen Ө j

La derivada direccional puede expresarse con el producto de dos vectores:

f (x,y) cos Ө +fy (x,y) sen Ө = (cos Өi + sen Өj) ( f(x)(x,y)i + f(y)(x,y)j )

En donde el termino derecho se denomina gradiente de la funcion f el simbolo para su representacion es : vf o grad f

Definición : Si f es una función dada de dos variables x,y y fx,fy existen, entonces el gradiente de f esta dado por:

vf (x,y)= fx(x,y)i + fy(x,y)j
Du f(x,y) = μ . vf(x,y)

μ = vector unitario
vf(x,y) = gradiente

Ejemplo:

Sea f(x,y) =X² /16 + y² /7

a) Determinnar el gradiente de f en R(4,3)

fx (x,y) = x/8 +0
fy (x,y) = 0 + 2/9 y
vf (x,y) = x/8 i + 2/9y j
vf (4,3) = 4/8 i + 3(2)/9 j = 1/2 i + j

b) Calcular la derivada direccional de f en R en la direccion de R a Q (5,6)

v(RQ) : R (4,3) Q( 5,6)
v (RQ) = (5-4) i + (6-3) j
v (RQ) = 1i + 3j

Tarea 3 : Gradiente, divergencia y rotacional

1. Calcula el gradiente de la función:

a) f(x,y) = 4x²-3xy+y²

vf(x,y) = (8x-3y)i + (-3x+2y)j

b) f(x,y)= x-y

x+z

vf(x,y,z) = (x+z)-(x-y) + 1 + (x-y)

(x+z)² (x+z) (x+z)²

2. Calcular la divergencia y el rotacional del campo vectorial

a) F(x,y,z) = 6x²i – xy² j

divF= 12x i+ 2y j

rot= d (-xy²) - d 6x² = -y²

dx dy

Tarea 2 :Conversion de coordenadas

1. Cambiar las coordenadas cilindricas dadas a coordenadas rectangulares:
a) (5,π/2, 3)

r= √ (5)²+ (π/2)²
r= 5.24
Ө= Tan^-1 (π/2)/5
Ө= 17.44º= 0.304 rad
z = z
z= 3

Coordenadas rectangulares : (5.2, 0.3, 3)

b) (6,π/3, -5)

r= √ (6)²+ (π/3)²
r= 6.03
Ө= Tan^-1 (π/3)/6
Ө= 9.9º= 0.17 rad
z = z
z= -5

Coordenadas rectangulares : (6.03, 0.17, -5)

2. Cambiar las coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

a) ( 1,1,√2)

ρ= √ (1²)+ (1²)+(√2²)
ρ= 2
Ө= Tan^-1 1/1
Ө= 45º = π/4 rad
z= (√ (1²)+ (1²)+(√2²) )(cos π/4)
z= (2)(0.99) = 1.99 ~ 2

Las coordenadas esféricas: (2,π/4, 2)

b) ( 1, √3, 0)

ρ= √ (1²)+ (√3²)+(0²)
ρ= 4
Ө= Tan^-1 √3 /1
Ө= 60º = π/3 rad
z= (√ (1²)+ (√3²)+(0²) )(cos π/3)
z= (4)(0.99) = 3.96 ~ 4

Las coordenadas esféricas: (4,π/3, 4)

3. Convertir las coordenadas esfericas a cordenadas cilindricas:

a) (4, π/3,π/3)

x= (4)(senπ/3)(cos π/3)
x= 0.073
y= (4)(senπ/3)(senπ/3)
y= 0.0013
z= 4 cos π/3
z= 4

r= √ (0.073²)+ (0.0013)²
r= 0.073
Ө= Tan^-1 0.0013/0.073
Ө= 1.02º = 0.017 rad
z= 4

Coordenadas cilindricas: (0.073,0.017,4)

b) (2, 5 π/6, π/4)

x= (2)(senπ/6)(cos π/4)
x= 0.018
y= (2)(senπ/6)(senπ/4)
y= 0.00025
z= 4 cos π/4
z= 4

r= √ (0.018²)+ (0.00025)²
r= 4.5x10^-6
Ө= Tan^-1 0.00025/0.018
Ө= 0.79º = 0.0138 rad
z= 4

Coordenadas cilindricas: (4.5x10^-6,0.0138,4)

4. Describir la grafica de la ecuacion en tres dimensiones.

a) Ф= π/6

.....................

b) ρ = 4 cos Ф

ρ² = 4ρ cos Ф
ρ^{2 =} x² + y ² +z²
ρcos Ф = z

x² + y ² +z² = 4z
x² + y ² +z² -4z =0
x² + y ² +z² -4z+ (4/2) ² = (4/2) ²
x² + y ² +z² -4z+ 4 = 4
x² + y ² +(z-2)²= 4

...................

Encontrar una ecuacion en coordenadas cilindricas y una en coordenadas esfericas para la grafica de la ecuacion dada.

a) x² + y ² +z² = 4

x² + y ²= 4- z²

r²= x² + y ²

r²=4- z²

r²+z²=4

b) y ² +z² = 9

Ρ² = x² + y ²+z²

ρ² -x² = y ²+z²

ρ² -x² = 9

√ ρ² – (ρ^sen Фcos Ө)² = √9

ρ– (ρ^sen Фcos Ө)=3

Ejercicio de ejemplo

Ejercicios de ejemplo

1. Escribirla gráfica de ρ = 2cos Ф

Primer paso.-Multiplicar por ρ ambos miembros.

ρ² = 2 ρ cos Ф
ρ^{2 =} x² + y ² z ²
ρ cos Ф = z


Segundo paso.- Sustituimos las equivalencias
x² + y ² z ² = 2 z

Tercer paso.- Agrupamos términos semejantes
x² + y ² z ² - 2 z =0

Cuarto paso.- Completar trinomio cuadrado perfecto
x² + y ² z ² - 2 z =0
x² + y ² z ² - 2 z + (2/2)²=(2/2)²
x² + y ² z ² - 2 z +1 = 1
x² + y ² + (z-1)=1
x² + y ² z ² = r<sup>2

Centro (0,0,1)</sup>

Ejercicios de ejemplo

Ejemplos:

A) Las coordenadas cartesianas del punto con coordenadas (4, 2π/2, 5).

x= rcos Ө
y = rsenӨ
z = z

x = 4 cos 2/3 π = 4 cos 120º = 4(-1/2) = -2

y = 4 sen 2/3 π = 4 (2√3 /4) = 2(√3) = 3.46

Las coordenadas son ( -2, 2√3, 5)

B) Las coordenadas cilíndricas del punto coordenadas cartesianas(-5,-5,2)

r = √ x² + y ²
tan Ө = y/x
z = z

r = √ (-5)² + (-5) ²
r = √ 50

tan Ө = -5/-5 = 1 = 45º = π/4

z = z

Las coordenadas son (√ 50, π/4,z)

C) Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares (cartesianas) de las siguintes coordenadas cilíndricas, graficar en 3 dimensiones.

• z = 4r ²
  

^como r = √ x² + y ²
r² = x² + y ^2
z= 4( x² + y 2 )
z= 4x² + 4y 2

Si hacemos x=0 tenemos z= 4y 2 ( parábola en y,z)
Si hacemos y=0 tenemos z= 4x² (parábola en x,z)
Si hacemos z=4 tenemos 4= 4x² + 4y 2 (entre 4) 1= x² + y 2 (círculo con centro en el origen)

• ^{r =} 4 sen Ө

Si multiplicamos r ambos miembros
r² =4r sen Ө

Si sustituimos :
r² = x² + y 2
y = r sen Ө

x² + y 2 = 4y
x² + y 2 -4y= 0
x² + y 2 -4y+ (4/2)² = (4/2)²
x² + y 2 -4y+ 4 = 4
x² + (y-2) ^{2 = 4}

Circunferencia fuera del origen con centro C (0,2) y r = 2

⁽Forma ^{(x-h)2 + (y-k)2 =} r² )

Coordenadas esfericas

Coordenadas esféricas

Al igual que las coordenadas polares pueden servir para simplificar ciertas ecuaciones y tratar la gráfica en dos dimensiones.
El sistema de coordenadas esféricas se puede definir en tres dimensiones con coordenadas (ρ,Ф,Ө) de un punto P.

Relación de coordenadas esféricas a cartesianas

Esféricas a cartesianas ----------------- Cartesianas a esféricas
x = ρ sen Ф cos Ө --------------------------------- ρ = √ x²+ y²+z²
y = ρ sen Ф sen Ө --------------------------------- tan Ө = y / x
z = ρ cos Ө --------------------------------- cos Ф = z / √ x²+ y²+z²

ρ = //OP//
Ф = ángulo entre la parte positiva del eje z y OP
Ө = ángulo polar a la proyección P´ de P sobre el plano xy.

Producto escalar

Producto escalar

Si M y V son vectores en el espacio en donde coinciden sus puntos iniciales y su ángulo entre ellos es 0≤ Ө ≥π entonces:

μ . v // μ // // v // si μ ≠ 0 y v ≠ 0
0 si μ = 0 y v = 0

Ө = cos-1 = ___ μ . v____

// μ // // v //

//μ// = √(x₂ – x₁)²+ (y₂ – y₁)²+ (z₂ – z₁)<sup>2


Ejemplo: Hallar</sup> μ . v y Ө entre μ . v

μ = (-3,1,2) μ . v = (-3)(4)+ (1)(2)+ (2)(-5)
v = (4,2,-5)

//μ// = √(-3)²+ (1)²+ (2)2 = √14

// v // = √(4)²+ (2)²+ (-5)2 = √45

Ө = -20 / (√14)( √45) = -0.7968 = 142.829º

NOTA:

Ө es agudo si y solo si μ . v > 0
Ө es obstuso si y solo si μ . v <>
Ө π / 2 μ . v = 0

Tarea 1 : Producto vectorial

PRODUCTO VECTORIAL

1. Si μ = (2,-1,3)

V = (0,1,7)

W = (1,4,5)

a) μX (VXW)

i j k

0 1 7 = (5-28)i – (0-7)j + (0-1)k = -23i +7j -1k

1 4 5

i j k

2 -1 3 = (1-21)i – (-2+69)j + (14-23)k = -20i -67j -9k

-23 7 -1

b) (μXV)XW

i j k

2 -1 3 = ( -7-3)i – (14-0)j + (2-0)k = -10i -14j +2k

0 1 7

i j k

-10 -14 2 = (-70-8)i – (-50-2)j +( -40+14)k = -78i +52j -26k

1 4 5

c) (μXV)- 2W

i j k

2 -1 3 = ( -7-3)i – (14-0)j + (2-0)k = -10i -14j +2k

0 1 7

(μXV)- 2W = -10i -14j +2k – 2(1, 4, 5)

= -10i -14j +2k – 2i – 8j – 10k

= -12i - 22j - 8k

2. Hallar el área del triangulo que tiene vértices P,Q,R.

P( 1,5,-2)

Q( 0,0,0)

R ( 3,5,1)

P₁P₂ (-1,-5,2)

P₁P₃ (2, 0, 3)

P₁P₂ X P₁P_{3 =} i j k

-1 -5 2 = ( -15-0)i – (-3-4)j + ( 0+10)k

2 0 3

= -15i +7j +10k

= √(-15i) +(7j) +(10k)

= 19.33 / 2

= 9.66

Sistema coordenado y calculo vectorial

Coordenadas cartesianas

Se define por 2 o 3 ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si en un sistema bidimensional y tridimensional.
Se dibujan las perpemdiculares PL,PM y PV que van desde P a los planos yz,zx y xy.

• Distancia al origen: Para hallar la distancia al origen, construir el paralelogramo rectangular que tenga a los lados PL,PM y PV.
  
• Calculo vectorial

Consta de asignar o asociar un escalar (medida) a un punto en el espacio, y un vector a un punto en el espacio, es decir se llaman magnitudes escalares a aquellas en que solo influye en su tamaño, mientras las magnitudes vectoriales son aquellas en las que influye la direccion y el sentido en que se aplican

Producto vectorial

Producto vectorial

Si μ (μ_1, μ _2,μ_{3 ) y V (}v1,v₂ ,v_{3) son vectores en el espacio entonces el producto vectorial queda determinado por:}
μxv = μ₂v_{3 -} μ₃ v_{2 ,} μ₁-v₂- μ₁v₃, μ₁v₂ – μ₂v₁

μxv l i j k l
l μ₁ μ ₂ μ_{3 l = (} μ₂v_3- v₂μ_{3)i- (}μ₁v₃- μ₃v₁ )j+( μ₁v_2- μ₂v_1)k
l v1 v₂ v3 l

• Hallar el área de un triángulo determinado por los puntos P₁(2,2,0), P₂ (-1,0,2) y P₃ ( 0,4,3).

A= ½ // P₁ P₂ X P₁ P₃ //

P₁ P₂ (-3,-2,2) , P₁ P3 (-2,2,3)

P₁ P₂ X P₁ P3 = l i j k l

l -3 -2 2 _{l = (} -6 - 4_{)i- (} -9 + 4)j+( -6 -4_)k
l -2 2 3 l
= -10i + 5j+ (-10k)
=√ (-10i²)+ (5j²)+(-10k²) =√ 225
=15/2 = 7.5