Derivada direccional (Gradiente)

Para indicar una dirección se utiliza el concepto de vector unitario que forma un ángulo de medida Ө radianes con la parte positiva del eje x.

μ = cos Ө i + sen Ө j

La derivada direccional puede expresarse con el producto de dos vectores:

f (x,y) cos Ө +fy (x,y) sen Ө = (cos Өi + sen Өj) ( f(x)(x,y)i + f(y)(x,y)j )

En donde el termino derecho se denomina gradiente de la funcion f el simbolo para su representacion es : vf o grad f

Definición : Si f es una función dada de dos variables x,y y fx,fy existen, entonces el gradiente de f esta dado por:

vf (x,y)= fx(x,y)i + fy(x,y)j
Du f(x,y) = μ . vf(x,y)

μ = vector unitario
vf(x,y) = gradiente

Ejemplo:

Sea f(x,y) =X² /16 + y² /7

a) Determinnar el gradiente de f en R(4,3)

fx (x,y) = x/8 +0
fy (x,y) = 0 + 2/9 y
vf (x,y) = x/8 i + 2/9y j
vf (4,3) = 4/8 i + 3(2)/9 j = 1/2 i + j

b) Calcular la derivada direccional de f en R en la direccion de R a Q (5,6)

v(RQ) : R (4,3) Q( 5,6)
v (RQ) = (5-4) i + (6-3) j
v (RQ) = 1i + 3j