Ley de Coulomb

Mediante una balanza de torsión, Coulomb encontró que la fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas puntuales es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.

El valor de la constante de proporcionalidad depende de las unidades en las que se exprese F, q, q’ y r. En el Sistema Internacional de Unidades de Medida vale 9·10^-9 Nm²/C².

La ley de Coulomb nos describe la interacción entre dos cargas eléctricas del mismo o de distinto signo. La fuerza que ejerce la carga Q sobre otra carga q situada a una distancia r es.

La fuerza F es repulsiva si las cargas son del mismo signo y es atractiva si las cargas son de signo contrario.

Fuente:http://web.educastur.princast.es/proyectos

Concepto de campo eléctrico

Un campo eléctrico es un campo de fuerza creado por la atracción y repulsión de cargas eléctricas (la causa del flujo eléctrico) y se mide en Voltios por metro (V/m). El flujo decrece con la distancia a la fuente que provoca el campo.

Los campos eléctricos estáticos (también conocidos como campos electrostáticos) son campos eléctricos que no varían con el tiempo (frecuencia de 0 Hz). Los campos eléctricos estáticos se generan por cargas eléctricas fijas en el espacio, y son distintos de los campos que cambian con el tiempo, como los campos electromagnéticos generados por electrodomésticos, que utilizan corriente alterna (AC) o por teléfonos móviles, etc.

En las siguientes imágenes vemos las líneas de campo en el campo creado por una carga positiva, por una negativa y por dos cargas del mismo valor y distinto signo:

carga positiva

carga negativa

.

Dos cargas del mismo valor y distinto signo

Fuente: GreenFacts

Divergencia y rotacional de un campo vectorial

Interpretación física:

Si F denota el campo de velocidad de un fluido,entonces divF en un punto P mide la tendencia de ese fluido a alejarse de P (divF> 0) y acumularse en torno de P (divF < divf =" v.F" style="" lang="EN-GB"> e^2x i + (3x²yz)j + (2y²z + x)k

divF (x,y,z) = v. F (x,y,z)
= d/dx e^2x + d/dy (3x²yz) + d/dz (2y²z + x)
= 2e^2x + 3x²z + 2y²

rot= vXF =

l i j k l

l d/dx d/dy d/dz l

l e^2x 3x²yz 2y²z + xl

= i (4yz - 3x² y) - j(1) + k (6xyz)

Derivada direccional (Gradiente)

Para indicar una dirección se utiliza el concepto de vector unitario que forma un ángulo de medida Ө radianes con la parte positiva del eje x.

μ = cos Ө i + sen Ө j

La derivada direccional puede expresarse con el producto de dos vectores:

f (x,y) cos Ө +fy (x,y) sen Ө = (cos Өi + sen Өj) ( f(x)(x,y)i + f(y)(x,y)j )

En donde el termino derecho se denomina gradiente de la funcion f el simbolo para su representacion es : vf o grad f

Definición : Si f es una función dada de dos variables x,y y fx,fy existen, entonces el gradiente de f esta dado por:

vf (x,y)= fx(x,y)i + fy(x,y)j
Du f(x,y) = μ . vf(x,y)

μ = vector unitario
vf(x,y) = gradiente

Ejemplo:

Sea f(x,y) =X² /16 + y² /7

a) Determinnar el gradiente de f en R(4,3)

fx (x,y) = x/8 +0
fy (x,y) = 0 + 2/9 y
vf (x,y) = x/8 i + 2/9y j
vf (4,3) = 4/8 i + 3(2)/9 j = 1/2 i + j

b) Calcular la derivada direccional de f en R en la direccion de R a Q (5,6)

v(RQ) : R (4,3) Q( 5,6)
v (RQ) = (5-4) i + (6-3) j
v (RQ) = 1i + 3j

Tarea 3 : Gradiente, divergencia y rotacional

1. Calcula el gradiente de la función:

a) f(x,y) = 4x²-3xy+y²

vf(x,y) = (8x-3y)i + (-3x+2y)j

b) f(x,y)= x-y

x+z

vf(x,y,z) = (x+z)-(x-y) + 1 + (x-y)

(x+z)² (x+z) (x+z)²

2. Calcular la divergencia y el rotacional del campo vectorial

a) F(x,y,z) = 6x²i – xy² j

divF= 12x i+ 2y j

rot= d (-xy²) - d 6x² = -y²

dx dy

Tarea 2 :Conversion de coordenadas

1. Cambiar las coordenadas cilindricas dadas a coordenadas rectangulares:
a) (5,π/2, 3)

r= √ (5)²+ (π/2)²
r= 5.24
Ө= Tan^-1 (π/2)/5
Ө= 17.44º= 0.304 rad
z = z
z= 3

Coordenadas rectangulares : (5.2, 0.3, 3)

b) (6,π/3, -5)

r= √ (6)²+ (π/3)²
r= 6.03
Ө= Tan^-1 (π/3)/6
Ө= 9.9º= 0.17 rad
z = z
z= -5

Coordenadas rectangulares : (6.03, 0.17, -5)

2. Cambiar las coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas

a) ( 1,1,√2)

ρ= √ (1²)+ (1²)+(√2²)
ρ= 2
Ө= Tan^-1 1/1
Ө= 45º = π/4 rad
z= (√ (1²)+ (1²)+(√2²) )(cos π/4)
z= (2)(0.99) = 1.99 ~ 2

Las coordenadas esféricas: (2,π/4, 2)

b) ( 1, √3, 0)

ρ= √ (1²)+ (√3²)+(0²)
ρ= 4
Ө= Tan^-1 √3 /1
Ө= 60º = π/3 rad
z= (√ (1²)+ (√3²)+(0²) )(cos π/3)
z= (4)(0.99) = 3.96 ~ 4

Las coordenadas esféricas: (4,π/3, 4)

3. Convertir las coordenadas esfericas a cordenadas cilindricas:

a) (4, π/3,π/3)

x= (4)(senπ/3)(cos π/3)
x= 0.073
y= (4)(senπ/3)(senπ/3)
y= 0.0013
z= 4 cos π/3
z= 4

r= √ (0.073²)+ (0.0013)²
r= 0.073
Ө= Tan^-1 0.0013/0.073
Ө= 1.02º = 0.017 rad
z= 4

Coordenadas cilindricas: (0.073,0.017,4)

b) (2, 5 π/6, π/4)

x= (2)(senπ/6)(cos π/4)
x= 0.018
y= (2)(senπ/6)(senπ/4)
y= 0.00025
z= 4 cos π/4
z= 4

r= √ (0.018²)+ (0.00025)²
r= 4.5x10^-6
Ө= Tan^-1 0.00025/0.018
Ө= 0.79º = 0.0138 rad
z= 4

Coordenadas cilindricas: (4.5x10^-6,0.0138,4)

4. Describir la grafica de la ecuacion en tres dimensiones.

a) Ф= π/6

.....................

b) ρ = 4 cos Ф

ρ² = 4ρ cos Ф
ρ^{2 =} x² + y ² +z²
ρcos Ф = z

x² + y ² +z² = 4z
x² + y ² +z² -4z =0
x² + y ² +z² -4z+ (4/2) ² = (4/2) ²
x² + y ² +z² -4z+ 4 = 4
x² + y ² +(z-2)²= 4

...................

Encontrar una ecuacion en coordenadas cilindricas y una en coordenadas esfericas para la grafica de la ecuacion dada.

a) x² + y ² +z² = 4

x² + y ²= 4- z²

r²= x² + y ²

r²=4- z²

r²+z²=4

b) y ² +z² = 9

Ρ² = x² + y ²+z²

ρ² -x² = y ²+z²

ρ² -x² = 9

√ ρ² – (ρ^sen Фcos Ө)² = √9

ρ– (ρ^sen Фcos Ө)=3

Ejercicio de ejemplo

Ejercicios de ejemplo

1. Escribirla gráfica de ρ = 2cos Ф

Primer paso.-Multiplicar por ρ ambos miembros.

ρ² = 2 ρ cos Ф
ρ^{2 =} x² + y ² z ²
ρ cos Ф = z


Segundo paso.- Sustituimos las equivalencias
x² + y ² z ² = 2 z

Tercer paso.- Agrupamos términos semejantes
x² + y ² z ² - 2 z =0

Cuarto paso.- Completar trinomio cuadrado perfecto
x² + y ² z ² - 2 z =0
x² + y ² z ² - 2 z + (2/2)²=(2/2)²
x² + y ² z ² - 2 z +1 = 1
x² + y ² + (z-1)=1
x² + y ² z ² = r<sup>2

Centro (0,0,1)</sup>

Ejercicios de ejemplo

Ejemplos:

A) Las coordenadas cartesianas del punto con coordenadas (4, 2π/2, 5).

x= rcos Ө
y = rsenӨ
z = z

x = 4 cos 2/3 π = 4 cos 120º = 4(-1/2) = -2

y = 4 sen 2/3 π = 4 (2√3 /4) = 2(√3) = 3.46

Las coordenadas son ( -2, 2√3, 5)

B) Las coordenadas cilíndricas del punto coordenadas cartesianas(-5,-5,2)

r = √ x² + y ²
tan Ө = y/x
z = z

r = √ (-5)² + (-5) ²
r = √ 50

tan Ө = -5/-5 = 1 = 45º = π/4

z = z

Las coordenadas son (√ 50, π/4,z)

C) Encontrar una ecuación en coordenadas rectangulares (cartesianas) de las siguintes coordenadas cilíndricas, graficar en 3 dimensiones.

• z = 4r ²
  

^como r = √ x² + y ²
r² = x² + y ^2
z= 4( x² + y 2 )
z= 4x² + 4y 2

Si hacemos x=0 tenemos z= 4y 2 ( parábola en y,z)
Si hacemos y=0 tenemos z= 4x² (parábola en x,z)
Si hacemos z=4 tenemos 4= 4x² + 4y 2 (entre 4) 1= x² + y 2 (círculo con centro en el origen)

• ^{r =} 4 sen Ө

Si multiplicamos r ambos miembros
r² =4r sen Ө

Si sustituimos :
r² = x² + y 2
y = r sen Ө

x² + y 2 = 4y
x² + y 2 -4y= 0
x² + y 2 -4y+ (4/2)² = (4/2)²
x² + y 2 -4y+ 4 = 4
x² + (y-2) ^{2 = 4}

Circunferencia fuera del origen con centro C (0,2) y r = 2

⁽Forma ^{(x-h)2 + (y-k)2 =} r² )

Coordenadas esfericas

Coordenadas esféricas

Al igual que las coordenadas polares pueden servir para simplificar ciertas ecuaciones y tratar la gráfica en dos dimensiones.
El sistema de coordenadas esféricas se puede definir en tres dimensiones con coordenadas (ρ,Ф,Ө) de un punto P.

Relación de coordenadas esféricas a cartesianas

Esféricas a cartesianas ----------------- Cartesianas a esféricas
x = ρ sen Ф cos Ө --------------------------------- ρ = √ x²+ y²+z²
y = ρ sen Ф sen Ө --------------------------------- tan Ө = y / x
z = ρ cos Ө --------------------------------- cos Ф = z / √ x²+ y²+z²

ρ = //OP//
Ф = ángulo entre la parte positiva del eje z y OP
Ө = ángulo polar a la proyección P´ de P sobre el plano xy.

Producto escalar

Producto escalar

Si M y V son vectores en el espacio en donde coinciden sus puntos iniciales y su ángulo entre ellos es 0≤ Ө ≥π entonces:

μ . v // μ // // v // si μ ≠ 0 y v ≠ 0
0 si μ = 0 y v = 0

Ө = cos-1 = ___ μ . v____

// μ // // v //

//μ// = √(x₂ – x₁)²+ (y₂ – y₁)²+ (z₂ – z₁)<sup>2


Ejemplo: Hallar</sup> μ . v y Ө entre μ . v

μ = (-3,1,2) μ . v = (-3)(4)+ (1)(2)+ (2)(-5)
v = (4,2,-5)

//μ// = √(-3)²+ (1)²+ (2)2 = √14

// v // = √(4)²+ (2)²+ (-5)2 = √45

Ө = -20 / (√14)( √45) = -0.7968 = 142.829º

NOTA:

Ө es agudo si y solo si μ . v > 0
Ө es obstuso si y solo si μ . v <>
Ө π / 2 μ . v = 0

Tarea 1 : Producto vectorial

PRODUCTO VECTORIAL

1. Si μ = (2,-1,3)

V = (0,1,7)

W = (1,4,5)

a) μX (VXW)

i j k

0 1 7 = (5-28)i – (0-7)j + (0-1)k = -23i +7j -1k

1 4 5

i j k

2 -1 3 = (1-21)i – (-2+69)j + (14-23)k = -20i -67j -9k

-23 7 -1

b) (μXV)XW

i j k

2 -1 3 = ( -7-3)i – (14-0)j + (2-0)k = -10i -14j +2k

0 1 7

i j k

-10 -14 2 = (-70-8)i – (-50-2)j +( -40+14)k = -78i +52j -26k

1 4 5

c) (μXV)- 2W

i j k

2 -1 3 = ( -7-3)i – (14-0)j + (2-0)k = -10i -14j +2k

0 1 7

(μXV)- 2W = -10i -14j +2k – 2(1, 4, 5)

= -10i -14j +2k – 2i – 8j – 10k

= -12i - 22j - 8k

2. Hallar el área del triangulo que tiene vértices P,Q,R.

P( 1,5,-2)

Q( 0,0,0)

R ( 3,5,1)

P₁P₂ (-1,-5,2)

P₁P₃ (2, 0, 3)

P₁P₂ X P₁P_{3 =} i j k

-1 -5 2 = ( -15-0)i – (-3-4)j + ( 0+10)k

2 0 3

= -15i +7j +10k

= √(-15i) +(7j) +(10k)

= 19.33 / 2

= 9.66

Sistema coordenado y calculo vectorial

Coordenadas cartesianas

Se define por 2 o 3 ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si en un sistema bidimensional y tridimensional.
Se dibujan las perpemdiculares PL,PM y PV que van desde P a los planos yz,zx y xy.

• Distancia al origen: Para hallar la distancia al origen, construir el paralelogramo rectangular que tenga a los lados PL,PM y PV.
  
• Calculo vectorial

Consta de asignar o asociar un escalar (medida) a un punto en el espacio, y un vector a un punto en el espacio, es decir se llaman magnitudes escalares a aquellas en que solo influye en su tamaño, mientras las magnitudes vectoriales son aquellas en las que influye la direccion y el sentido en que se aplican

Producto vectorial

Producto vectorial

Si μ (μ_1, μ _2,μ_{3 ) y V (}v1,v₂ ,v_{3) son vectores en el espacio entonces el producto vectorial queda determinado por:}
μxv = μ₂v_{3 -} μ₃ v_{2 ,} μ₁-v₂- μ₁v₃, μ₁v₂ – μ₂v₁

μxv l i j k l
l μ₁ μ ₂ μ_{3 l = (} μ₂v_3- v₂μ_{3)i- (}μ₁v₃- μ₃v₁ )j+( μ₁v_2- μ₂v_1)k
l v1 v₂ v3 l

• Hallar el área de un triángulo determinado por los puntos P₁(2,2,0), P₂ (-1,0,2) y P₃ ( 0,4,3).

A= ½ // P₁ P₂ X P₁ P₃ //

P₁ P₂ (-3,-2,2) , P₁ P3 (-2,2,3)

P₁ P₂ X P₁ P3 = l i j k l

l -3 -2 2 _{l = (} -6 - 4_{)i- (} -9 + 4)j+( -6 -4_)k
l -2 2 3 l
= -10i + 5j+ (-10k)
=√ (-10i²)+ (5j²)+(-10k²) =√ 225
=15/2 = 7.5

Coordenada cilíndrica

Coordenada cilíndrica

Las coordenadas polares en el plano pueden servir para simplificar ciertas ecuaciones y por ejemplo para trazar la gráfica en dos dimensiones el sistema de coordenadas polares se puede generalizar en tres dimensiones y con coordenadas (r,Ө , z) de un punto.

Donde:

r = radio

Ө = angulo de r con respecto a X

z = elevacion de r








Relación de las coordenadas cilindricas y cartesianas

Cilíndricas a cartesiana--------------- Cartesiana a cilíndrica

X = r cos Ө --------------------- r =√ x² + y ²
y = r sen Ө --------------------- tan Ө = y / x
z = z -------------------- z = z


Si r_{0 = cte. positiva
Ecuación} x² + y ^{2 =} r₀^{2
Gráfica: cilindro r =} r0
(Fig.A)

Si Ө₀ y Z₀ = constantes
Ecuación es un plano que contiene a z.
(Fig.B)

Si Z = Z_{0
Ecuación es un plano perpendicular a z.
(Fig. C)}


------------------------- A ---------------- B ----------------- C

Coordenadas esfericas y cilindricas

Coordenadas esfericas y cilindricas

Sistema de coordenadas esférica

Al igual que las coordenadas cilíndricas, el sistema de coordenadas esféricas se usan en espacios euclídeos tridimensionales. Este sistema de coordenadas esféricas está formado por tres ejes mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. La primera coordenada es la distancia entre el origen y el punto, siendo las otras dos los ángulos que es necesario girar para alcanzar la posición del punto.

Sistema de coordenadas cilíndricas

El sistema de coordenadas cilíndricas son usadas para parametrizar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia perpendicular a los otros dos. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos, mientras que la tercera es la coordenada que determina la altura del cilindro.